Дробные проблемы
Эссе по анализу огромной проблемы усвоения детьми понятия «дробь» и «операции с дробями»
Настоящее, есть следствие прошедшего.
Кузьма Прутков
На написание данной статьи (эссе) подтолкнуло меня многократное сталкивание со стеной непонимания среди молодых людей алгоритмов арифметических действий с обыкновенными дробями, который охватывает диапазона возраста от 12 до 40 лет.
Такие проблемы выявлялись в разных сферах моей деятельности: обучение математики по темам конкретного класса, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ, обучению программированию с уклоном в математику, помощь в освоении вузовского материала по математике.
По началу я считал, что это разовый случай, но со временем это оказалось самым распространённой проблемой, из-за которой дети и студенты теряют мотивацию к изучению математики и то самое связующее звено в 99% случаях арифметических вычислений. А такое непонимание у взрослых людей ведёт к непониманию алгоритмов, особенно связанных с математическими операциями, например, в программировании.
В качестве теста, чтобы вы убедились в проблеме. Предлагаю для решения простые примеры из учебников 4-6 класса в зависимости от автора.
Если вы или ваши дети (ученики) справились со всеми заданиями на 100% без подсказок, то я вас поздравляю. Решающий не попал в воронку тех, кто не освоил данную тему.
Почему незнание работы с дробями так сильно влияет на освоение последующего за ним материала? Это связано с тем, что почти в любой математической теме присутствует так или иначе понятие «отношение» и «доли», а доказательство и анализ сводится к решению дробных выражений. Сначала это просто числа (натуральные, целые, рациональные и иррациональные), затем появляются переменные (x, y, a, b, c …) и происходит абстрагирования математики, после, добавляются тригонометрические, логарифмические, степенные записи, которые мы видим в дробных записях.
Я решил «покопаться» в данной проблеме и попробовать выяснить откуда растут её «ноги». Первым делом, обратился к источникам, которые уже поднимали бы данную тему. И таких источников оказалось не так много, особенно в последние 15 лет.
1. Диссертация. «Изучение обыкновенных дробей в специальной (коррекционной) общеобразовательной школе VIII вида» Автор: Калинченко А. В. http://www.dslib.net/korrekcion-pedagogika/izuchenie-obyknovennyh-drobej-v-specialnoj-obweobrazovatelnoj-shkole-viii-vida.html
2. Статья «Деятельность учителя по формированию понятий доли и дроби в курсе математики начальной школы». Автор: «Налесная Сусанна Лаурьевна»
3. Статья «Преемственность между начальной и основной школой при изучении обыкновенных дробей младшими школьниками». Автор: Мялкина Елена Олеговна
4. Монография «Проблема качества математического образования в свете исторической ретроспективы». Автор: Игорь Петрович Костенко
https://www.mathedu.ru/text/kostenko_problema_kachestva_matobrazovaniya_2013/p4/
Из данных источников выявляются несколько факторов, которые так или иначе взаимосвязаны друг с другом:
1. Преемственность в обучении.
2. Объём материала для овладения техникой арифметических вычислений
3. Углубление в переходных тем математики: теории чисел и арифметических операций, логики рассуждений и т.д.
4. Обучение разбивать объект изучения (исследования) на составные части и группировка их.
Все четыре пункта связаны и их дозирует для каждого периода обучения несколько влияющих сил:
- Методика обучения
- Методический материал для обучения
- Социум
Методика обучения.
В данную формулировку я вкладываю: установленные стандарты образования (ФГОСы), уровень знаний преподавателя (учителя) и его умение передавать знание обучающим по шкале положительного результат усвоения и запоминания.
Для сравнения можем взять учителей математики 18 -19 века, начала 20 века, конец 20 века и начало 21 века. И проанализировать по каким государственным стандартам они работали, каким багажом знаний обладали и как объясняли материал.
Среднестатистический учитель последних двух временных рамок достаточно хорошо может быть изучен по указанным выше критериям, так как есть множество их методических работ, личное знакомство и даже опыт обучения у них. С учителями начала 20 века и 18-19 веков дело обстоит хуже, так как материала не так много, но он, всё-таки есть.
Учителя прошлых веков имели более широкий кругозор, чем учителя современных веков. Вряд ли современный учитель математики знает несколько языков, хорошо разбирается в философии и логики рассуждений (мало кто читал Канта, Рассела, Гегеля), или читал первоисточник математических трудов Гаусса, Эйлера, династии Бернулли, Лобачевского и т.д.
Скорее всего, вы скажите, но те учителя не знали современные открытия науки, что должны знать учителя нашего времени. Это так, но главный вопрос, а точно ли они знают это? А ещё очень важный вопрос, а данные разделы математики включены в школьную программу или нужны там?
Для меня вырисовывается первая проблема - багаж знаний современного учителя математики и умение его использовать на своих уроках. Учитель, как и любой человек его профессии был школьником, а после студентом педагогического ВУЗа. База знаний закладывалась именно там, а она опирается на тех программах обучения (стандартах) и знаниях своих учителей.
То чему научился будущий учитель и будет являться одним из источников образования для будущего поколения. Параллельно к этому остаётся влияние стандартов образования. Если с течением времени два этих параметра не меняются, то мы получаем стабильное и качественное образование. Это можно видеть в историческом контексте, политико-экономические факторы я не буду рассматривать, хотя они взаимовлияющие факторы на спад и расцвет образования.
Из источников можно видеть, что учителя прошлых веков и старое поколение старалось уделить формированию математической базы и логики рассуждений. Поэтому достаточно много времени уделялось достаточно базовым понятиям как числа, операции над числами, построение логики нахождения неизвестного из известное, изучение теорем и постулатов не с точки зрения зазубривания, а с точки зрения их понимания, почему так, а не иначе.
Не в обиду будет сказано, что современный учитель с современными стандартами уже сам ограничен в объёме передачи знаний и понимании теории. Я уверен, что многие современные учителя математики могут дать ошибочное объяснение пятого постулата Евклида или теоремы Пифагора, как это указано в «Началах». Из них для большинства, будут известны определённые следствия, которые нужны для решения задач из ЕГЭ по алгоритму решения.
Методический материал для обучения.
Стандарты определяют по какому методическому материалу составлять образовательный процесс. Учитель математики – это не математик, а сначала педагог, а потом математик. Поэтому ему нужны разработанные математиками или учёными педагогами-математиками методические материалы: книги, учебники, рабочие тетради и дидактический материал.
Я для анализа взял разные книги из указанных временных эпох, по которым могли обучаться люди математики. Вы также можете их изучить и провести сравнительный анализ, как изменялась информация книг по рассматриваемым темам. Здесь мы касаемся дробей и операции над ними.
Литература 18-19 века.
«Руководство по арифметики к использованию в гимназии». Автор: Леонард Эйлер.
https://archive.org/details/libgen_00126338/mode/2up
По этой книги обучались математики в 18-19 веках, поэтому я приложу некоторые скриншоты из неё по нашей теме.
В этой книге длинное введение почти на 30 страниц, в которой автор пытается объяснить, что есть арифметика и о чём эта книга. Мало в каких современных учебникам по математике для школы вы найдёте такое большое вступление.
Автор подробно разбирает тему натуральных чисел и операции над ними. Это не один-два примера, множество подробно расписанных алгоритмов вычислений.
Перед темой дроби, идём тема «деления», которое объясняется через умножение как состав числа, а затем переход к самой операции деления и дробям
Рисунок 1 Сколько содержится первого числа во втором
Рисунок 2 Операция деления
Дроби рассматривается как отношение или как часть. Проводятся подробные разъяснения как произносить и как записывать правильные и неправильные дроби, что есть целая часть дроби и операции с дробями. Подробно уделяется вопросу нахождения наибольшего общего делителя дроби для последующего сокращения числителя и знаменателя.
На этом книга в 300 страниц заканчивается. Только оцените объём информации по рассмотренным темам. Анализ проведём в конце.
«Арифметика Магницкого» 1703 год.
Рисунок 3 Вторая часть книги
Во второй части нам разъясняют какие числа есть, как их обозначать. После, вводится объяснение основным арифметическим действиям.
Большое внимание уделяется теме нахождения НОД для двух чисел.
Здесь так же мы видим в каком объёме даётся разъяснение на одну математическую операцию или математический термин. Всё достаточно подробно и с разными вариациями.
Литература середины 20 века
«Сборник задач и упражнений по арифметике для 5-6 классов» 1966 год. Авторы: С.А. Пономарёв Н.Н. Сырьев.
Ниже представлено начало содержания.
Обратите внимание на структуру содержания, что за чем идёт. Очень схожа со структурой из книги Эйлера касательно первых двух глав. Обыкновенные дроби идут после отработки основных арифметических операций и осмыслении их. Работе с обыкновенными дробями уделяется объёма больше чем всем основным арифметическим операциям.
Это не учебник – это задачник, и он служит для проверки и закрепления знаний и умений. Почти 100 страниц уделяется именно на эти темы. Задания охватывают проверку почти всех тонкостей, связанных с арифметическими действиями и операциями с дробями.
«Арифметика. Учебник для 5-6 классов». 1970 год. Автор: И.Н. Шевченко.
На темы, связанные с арифметическими операциями теории натурального числа и обыкновенным дробям, выделяется чуть больше 100 страниц. После изучения основных арифметических операций в разных ракурсах, мы переходим к изучению дробей. Здесь мы можем заметить много уделяется теме делимости и величинам. Половина из 100 страничного объёма уходит на изучение обыкновенных дробей.
Как и в эпоху Эйлера во времена середины СССР дробям уделяли также пристальное внимание. А данный учебник с объёмом в 200 страниц разбивали на два года обучения. Такой объём информации по учебнику и по предыдущему задачнику должны были уже по умолчанию научить почти любого школьника основным арифметическим действиям.
"Математика 5 класс" 1978 год. Виленкин Н.Я.
Автор середины и конца 20 века.
Именно по этому учебнику занимался я в 5 классе в 1992 году.
Данная книга уже отличается по содержанию от предыдущих выше. Как, далее, мы убедимся здесь даётся арифметические операции на примерах не только с натуральными числами, но и целыми и рациональными (десятичными дробями). Здесь подразумевается, что мы прошли тему арифметических действий и познакомились с дробями ранее.
Как можно заметить, темы на порядок выше и сложнее, так как данный учебник использовался в ускоренной программе обучения, когда в 3 классе ученики проходили темы за 3 и 4 класс. Поэтому, чтобы увидеть где закладывались понятие дроби, нужно отправиться на 1 год назад.
«Математика 4 класс», 1980 год, Автор. Виленкин Н.Я.
Итак, действительно, тут даются арифметические действия, но также знакомство с переменной, неравенствами и уравнениями.
Здесь явно прослеживается Колмогоровское влияние на образование. Объём уже отвечает объёмы учебников математики конца 20 века начала 21.
Литература 21 века.
А теперь рассмотрим современные учебники по математик, связанные с дробями.
«Математика 4 класс. Учебник в 3 частях» 2015 год. Автор: Петерсон Л.Г. Автор. Конца 20 начала - 21 века
В данном учебнике уже затрагивается тема дробей.
Как видно, очень много по теме дроби и смежные с ней. Данный учебник уже многие темы отправил на 4 класс. Учебник с объёмом в 300 страниц должен проходится за один год. От сюда уже можно сделать вывод о выделение времени и объёма по каждой теме, для простоты разъяснения содержание уже как бы намекает на интервалы уделяемого времени на тему.
Рассмотрим отрывки из содержания.
Посмотрим на содержания учебника для 5 класса автора Петерсон Л.Г.
«Математика 5 класс в 2 частях». Авторы Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Как видно, теме дробям уделяется много внимание, как и делимости судя по содержанию. Получается 400 страниц объёма информации на освоение в течении года. Посмотрим, как это описывается.
Как видно, что хоть и большой объём информации по страницам, но по содержанию очень сжато, особенно это касается теории и объяснению сути дробей. Возможно подразумевается прохождение тем с большой скоростью по времени.
Можно заметить, что основные арифметические операции не присутствуют ни в учебнике для 4 класса ни в учебнике для 5 класса, а, следовательно, они рассматриваются в класса ранее.
«Математика 5 класс». 2017 год, Автор: Виленкин Н.Я.
Ещё один относительно современный учебник математики. Автора можно отнести к началу и середине 20 века.
Здесь видим, что содержание перекликается с содержанием советских учебников. Объём всего учебника в 300 страниц, который рассчитан на 1 год изучения. Половина из этого объёма отдаётся арифметическим операциям и пониманию дроби и операции с ней.
Пройдёмся по структуре.
По структуре оформления учебник схож с учебником Петерсон, а по содержанию явно отличается, но уже содержит те же нотки сумбурности.
При сравнении всех современных учебников я увидел некую разрозненность в теории повествования у Петерсон и частично у Виленкина (это видно на последнем изображении – даётся не просто понятие сложение правильных дробей, а уже составных). Это говорит о том, что нужно вместить огромный объём в зажатые сроки.
«Математика 5 класс» Автор. Никольский С.М.
Данный человек прожил весь двадцатый век.
По содержанию учебник Никольского схож с учебником Виленкина и советскими учебниками. Мы видим тут также объём в 270 страниц, рассчитанный на 1 год обучения.
Ознакомимся со структурой учебника по теме дроби.
По дизайну данный учебник встанет в ряд с современными учебниками, по содержанию схож с учебником Виленкина – малый объём теории, но она есть почти по всем нюансам темы дроби и большое количество заданий на практику.
Анализ.
Структура учебников.
Пройдём по структуре учебной литературе. Я думаю, тут наглядно видно, что с течением времени программы менялись. Что-то добавлялось, что-то убиралось. Также можно заметить, что чем современнее учебник, тем он преизбыточен информацией, но мало того он ещё и не структурирован по преемственному направлению от простого к сложного, от предыдущей темы к следующей с затрагиванием данной темы. На мой взгляд, происходит разрывы в повествовании. Сначала мы знакомимся с натуральными числами и операциями над ними, затем затрагиваем тему абстрагирования записи выражений, где-то уходим в геометрические понятия, а потом возвращаемся к тем же арифметическим операциям, но уже с дробями. А тут либо что-то пропускаем в объяснении, либо даём очень кратко.
Если рассматривать книги до 1970 года включительно, то там уклон на разъяснение почему так, а не иначе и как это запомнить и использовать с любой сложности выражениями. Книги после 1970 года уже постепенно опускают такие подробные разъяснения и сразу переключаются на насыщения практическими задачами с уклонов в математический анализ, теорию множеств и теорию чисел, как их изучают на первых курсах физико-математических факультетах.
Также мы можем видеть сильную разность в объёме информации и её плотности на интервал времени. Оценим среднюю плотность информации, разбитую на год согласно учебникам:
Дизайн учебников.
Вы могли уже обратить своё внимание на изменения в дизайне оформления учебников.
Можно с уверенностью сказать, что учебники до 1980 года формировались со строгостью повествования. Тут только информация о теме по математике. Всё выдержано в чёрно-белых тонах, но написано в то же время на понятно «разжёванном» языке.
Учебники с 1980 года и по наш день соревнуются в красочности оформления. По началу, это можно видеть в учебниках Виленкина Н.Я. за 1980 годы, что добавленные изображения стараются сильно не выделять, используя пастельные цвета или просто чёрно-белый рисунок. Современные учебники именно даёт упор на изображения и контуры, используя «кричащие» цвета.
У меня педагогическое образования и в рамках него я проходил курс психологии и физиологии человека по возрастам. Даже с этой информацией я понимаю, что современное оформление не даёт сосредоточится и обладает отвлекающим характером.
Откройте одну и туже тему в некрасочном учебнике и в раскрашенном, в каком вы сможете быстрее сфокусировать свой взгляд на задании или теории?
По красочности оформления учебники сравнялись со сказками, книгами по фэнтези, литературой none fiction и т.д. Вторые нужны для приятного времяпрепровождения, развития фантазии и литературного запаса слов, а у первых всё-таки стоит задача передать научную информацию понятным языком.
Проанализируем использование того или иного изображения в теме или задаче в учебнике.
Изучите изображения и связь их с задачей. Где изображение объясняет задачу или даёт разъяснение к задаче, а может подсказку? Как вы оцениваете актуальность использования изображения которое а) не помогает решить задачу, б) отвлекает внимание своей красочностью?
Социум.
Одним из факторов влияние на передачу и усвоения информации влияет социум, который окружает обучающихся и влияет на их взгляды, цели и мотивации.
Первая ниточка – перекладывания ответственности. Преобразователи учебной литературы переложили процесс правильного и доходчивого разъяснения информации из книг на учителя. Предполагается, что учитель знает все нюансы арифметических действий в таких же подробностях, как и в книгах Эйлера или учебниках до 1970 года. Он сам будет писать рабочую программу, конспект и успеет за урок выдать такой же объём, который, в современном учебнике, уместился на одну страницу.
Учитель кроме указанной выше работы обязан вести отчётную документацию и проверить уровень знаний 20-30 учеников в классе по данной теме. В идеале, если некоторые ученики не поняли, провести дополнительные занятия на данную тему в неурочное время или за счёт урочного.
Вторая ниточка – формирования «клипового мышления» и обучение через игру. Выгодский, Локк, Дистервег, Макаренко поднимали тему о том, что среда формирует личность, её запросы и интересы. Если в обществе назначенные «эксперты» будут говорить о гумманизации, о другом типе личности нового поколения, отличимого от старого и особенности в физиологии восприятия. И поэтому нужно всячески играть с учеником, вызывать у него интерес красочной иллюстрацией, наглядным дидактическим материалом, поощрять его за что-нибудь, даже если он не справляется и предлагать ему средства, которые помогут учится: калькуляторы, интернет технологии, AR и VR технологии.
Само общество своими действиями и сформировало и формирует поколения с плохой степенью внимания и усидчивости, плохим развитием словарного запаса и речевого аппарата и в дальнейшем логикой рассуждений. Приняв какое-либо новшество, оно с упорством носорога пытается это продвигать везде, в любой сфере деятельности. В результате мы получаем учителя, который имеет огромное количество ограничений в своей деятельности и его голос становится уже не главным.
Простой эксперимент, который можно провести дома или в классе – это предложение чтения длинных текстов без иллюстраций на разные темы от литературно-художественных жанров до научно-познавательных и параллельное предложение краткое описание о предлагаемом от того, кто возможно, это прочитал.
Что выберет современный человек: краткое описание текста в две строчки или весь текст? Поверит ли он мнению того, кто дал рецензию на текст?
Что посмотрит ученик, чтобы понять, как решать задачу книгу, где будет разбор по задачам данного типа с примерами или видеоролик, где будет рассматриваться конкретная задача с указанными данными как у него?
Последний пример ярок сейчас на столько, что именно он как индикатор показывает реальную степень знаний человека, его мотивацию и цели. Этот человек станет специалистом, возможно учителем. У программистов последние десятилетия популярен Stack Overflow, у большинства Wikipedia. Процентов 10 программистов читают документацию. А как вы часто читаете инструкцию к использованию устройством или его технический паспорт перед тем как использовать?
Третья ниточка – политика образования.
На слуху у многих, что профессия учителя (преподаватель) нельзя присвоить к элитным (престижным) профессиям. Все мы в курсе, что не одно десятилетие стоит проблема с оплатой труда учителя, его нагрузкой и степенью ответственности. У нас проходят реформы образования. Раньше до середины 20 века они были не чаще 50 - 100 лет, а после очень часто даже для одного поколения учителей.
Есть у И.П. Костенко график успеваемости в школах СССР по годам, которые можно сопоставить с датами проведённых реформ образования.
Об этом он пишет в своей монографии https://www.mathedu.ru/text/kostenko_problema_kachestva_matobrazovaniya_2013/p4/
Есть видеоролик с его лекцией
https://www.youtube.com/watch?v=7DvrNOtMDTs&list=LL&index=1
Конечно, нам неизвестно о данных успеваемости с 80-х годов. Не всё так плачевно, как прогнозируется Костенко, но косвенные результаты мы можем наблюдать повсеместно.
Попытки решения локальных проблем в образовании индивидуума.
Это эссе, возможно, поможет кому-то понять проблемы в усвоении информации и умении решать математические задачи. Если ты дочитал до этого момента, то ещё не всё потеряно. Огромное количество задач человек не может решить именно из-за незнаний работы с дробями. Пока в данной теме самый большой процент ошибок, это даже видно по результатам ЕГЭ.
Для залатывания пробелов с дробями разработан простой алгоритм.
1. Если сложные вычисления с дробями не даются человеку, то понижаем сложно до определения порога понимания.
2. На основе вычленения порога, проверяем вокруг него базу знаний и определяем примерно класс и возможно учебник, где произошёл сбой в усвоении материала.
3. С данного возрастного порога по математической информации и начинаем отрабатывать алгоритм решения. В зависимости от имеющегося времени формируем программу повторения. Для этого используем методический материал учебников с изданием до 1970 года включительно, в большинстве своём. Как показала практика, это работает и с другими предметами.
4. Если человек любознательный и хочет не просто восполнить пробел, чтобы решать конкретные задачи, а понять лучше математику, то ему даётся список литературы и примерные варианты прохождение тем и как, и в каком порядке выполнять задания.
5. Задания с дробями выполняем в различных вариациях для разных классов и, если надо, вузовских курсов, пока не увидим положительную динамику решений.
Самый частый школьный этап математики, который пропал из памяти человека – это пятый класс. За свою практику я возвращался с обучающемся к этому периоду в 98% случаях из 100%. И как мы читали выше – это не случайность, а закономерный шаг в объяснении и работе с данным материалом. Сравните старые книги и новые по объёму уделяемой дробям внимание. Люди до нас с вами понимали, что данные темы очень сложны в усвоении и им нужно уделять пристальное внимание, так как на них и будет опираться многие математические понятия, теории, следствия и решения.
Итог.
В этом эссе я не оцениваю учебную литературу, а только анализирую. Оценивать будет сам ученик и учитель, используя её.
Моя задача показать как влияет содержание и порядок в передачи информации для лучшего усвоения и указать своё личное мнение к оформлению и содержанию учебников, чтобы на основе этого читатель сам мог выявить реальный КПД от образовательного процесса.
