Я хотела бы рассказать о проектно-исследовательской работе, посвящённой моделированию и исследованию свойств трёхмерных фракталов. Тема была предложена старшеклассникам для подготовки к научно-практической конференции. Важная педагогическая задача работы над проектом заключалась в изучении  содержательных примеров использования математических идей и методов в различных областях окружающего мира.

К сожалению, фрактальная геометрия не входит в базовый курс школьной математики, хотя фрактальные конструкции гораздо лучше обеспечивают представление многих природных явлений, чем объекты классической евклидовой геометрии.

Почему геометрию называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линия берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

Бенуа Мандельброт

Работа над проектом началась со знакомства с базовыми понятиями теории фракталов.

Фрактал (от латинского fractus, означающего «сломанный, разбитый») — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

В общем случае, термин «фрактал» может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

• самоподобие (иерархический принцип организации);
• нерегулярность (принцип неопределенности границ);
• способность к саморазвитию (принцип непрерывности формообразования);
• дробная метрическая размерность.

Основоположник теории фракталов Бенуа Мандельброт предпочитал визуальное представление математических задач символьному. Мандельброт связал фрактальную геометрию с географией, биологией, физикой.  В современном мире фрактальную графику применяют в создании текстур и фонов в фантастических фильмах и компьютерных играх. Мандельброт отмечал и эстетическую красоту фракталов.

Может ли чистая геометрия «человеку с улицы» показаться прекрасной? Точнее, может ли фигура, описываемая простым уравнением или правилом построения, быть воспринята человеком, не связанным с геометрией, как фигура, имеющая эстетическое значение, а именно, быть декоративной, а возможно и видом искусства? Если эта геометрическая фигура - фрактал, то ответ - да. 

Бенуа Мандельброт

Практической частью работы стало 3D-моделирование и изучение свойств трёхмерного фрактала губка Менгера.

Губка Менгера — геометрический фрактал, трёхмерный аналог ковра Серпинского.

Фрактал ковер Серпинского получается путём вырезания частей из квадрата. Возьмём квадрат, разделим его на девять квадратов, а средний вырежем. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. Ковёр Серпинского имеет нулевую площадь.

Алгоритм построения губки Менгера  происходит по тому же принципу, что и ковёр Серпинского.  Строится губка Менгера на основе куба. Каждая грань куба, имеющая единичную длину, делится на 9 равных квадратиков так же, как и при построении квадратного ковра Серпинского. В результате исходный куб разбивается на 27 одинаковых кубиков с длиной ребра, равной 1/3. Затем, удаляя 7 кубиков (один центральный и 6 из центра каждой из граней), противоположные грани исходного куба соединяются сквозным центральным отверстием квадратной формы. В результате из 27 остается 20 маленьких кубиков. Такая итерационная процедура с вырезанием сквозных отверстий и последующего превращения каждого оставшегося кубика в 20 еще более мелких (размера в три раза меньше исходного) продолжается до бесконечности. В результате этих операций образуется самоподобный объект, называемый губкой Менгера. Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней. 

Количество кубов увеличивается на каждом шаге в 20 раз. Соответственно, в 20 раз увеличивается и количество граней, рёбер, вершин. Рост количества элементов происходит в геометрической прогрессии, следовательно для 3D-моделирования потребуется мощный и производительный компьютер. Ресурсов моего ноутбука хватило на четыре итерации.  

Казалось бы, фрактальные конструкции являются объектами чистой математики. Но они нашли своё материальное воплощение в архитектуре. Архитектура, начиная с фрагментов, деталей и заканчивая пространством города в целом – это система, обладающая фрактальными свойствами.