Публикации сообщества

Светлана Любавина • 30 сентября 2018

Трёхмерные фракталы, губки и архитектура

Я хотела бы рассказать о проектно-исследовательской работе, посвящённой моделированию и исследованию свойств трёхмерных фракталов. Тема была предложена старшеклассникам для подготовки к научно-практической конференции. Важная педагогическая задача работы над проектом заключалась в изучении  содержательных примеров использования математических идей и методов в различных областях окружающего мира.

К сожалению, фрактальная геометрия не входит в базовый курс школьной математики, хотя фрактальные конструкции гораздо лучше обеспечивают представление многих природных явлений, чем объекты классической евклидовой геометрии.

 

Почему геометрию называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линия берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния распространяется по прямой… Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

Бенуа Мандельброт

Работа над проектом началась со знакомства с базовыми понятиями теории фракталов.

Фрактал (от латинского fractus, означающего «сломанный, разбитый») — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

В общем случае, термин «фрактал» может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:

  • самоподобие (иерархический принцип организации);
  • нерегулярность (принцип неопределенности границ);
  • способность к саморазвитию (принцип непрерывности формообразования);
  • дробная метрическая размерность.

Основоположник теории фракталов Бенуа Мандельброт предпочитал визуальное представление математических задач символьному. Мандельброт связал фрактальную геометрию с географией, биологией, физикой.  В современном мире фрактальную графику применяют в создании текстур и фонов в фантастических фильмах и компьютерных играх. Мандельброт отмечал и эстетическую красоту фракталов.

Может ли чистая геометрия «человеку с улицы» показаться прекрасной? Точнее, может ли фигура, описываемая простым уравнением или правилом построения, быть воспринята человеком, не связанным с геометрией, как фигура, имеющая эстетическое значение, а именно, быть декоративной, а возможно и видом искусства? Если эта геометрическая фигура - фрактал, то ответ - да. 

Бенуа Мандельброт

Практической частью работы стало 3D-моделирование и изучение свойств трёхмерного фрактала губка Менгера.

Губка Менгера — геометрический фрактал, трёхмерный аналог ковра Серпинского.

Фрактал ковер Серпинского получается путём вырезания частей из квадрата. Возьмём квадрат, разделим его на девять квадратов, а средний вырежем. То же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. Ковёр Серпинского имеет нулевую площадь.

Ковёр Серпинского

 

Алгоритм построения губки Менгера  происходит по тому же принципу, что и ковёр Серпинского.  Строится губка Менгера на основе куба. Каждая грань куба, имеющая единичную длину, делится на 9 равных квадратиков так же, как и при построении квадратного ковра Серпинского. В результате исходный куб разбивается на 27 одинаковых кубиков с длиной ребра, равной 1/3. Затем, удаляя 7 кубиков (один центральный и 6 из центра каждой из граней), противоположные грани исходного куба соединяются сквозным центральным отверстием квадратной формы. В результате из 27 остается 20 маленьких кубиков. Такая итерационная процедура с вырезанием сквозных отверстий и последующего превращения каждого оставшегося кубика в 20 еще более мелких (размера в три раза меньше исходного) продолжается до бесконечности. В результате этих операций образуется самоподобный объект, называемый губкой Менгера. Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней. 

 

Количество кубов увеличивается на каждом шаге в 20 раз. Соответственно, в 20 раз увеличивается и количество граней, рёбер, вершин. Рост количества элементов происходит в геометрической прогрессии, следовательно для 3D-моделирования потребуется мощный и производительный компьютер. Ресурсов моего ноутбука хватило на четыре итерации.  

Количество элементов построения при десяти итерациях

Казалось бы, фрактальные конструкции являются объектами чистой математики. Но они нашли своё материальное воплощение в архитектуре. Архитектура, начиная с фрагментов, деталей и заканчивая пространством города в целом – это система, обладающая фрактальными свойствами. 

Общежитие для студентов МIT в Кэмбридже, штат Массачусетс

Сначала пористость была планировочной идеей, — рассказывает Холл, — как возможность связать здание с ландшафтом. Затем она стала конструктивной идеей — как сохранить конструкцию здания, вынимая из него куски железобетона. И наконец, она стала социальной идеей — эти вырванные куски, эти ниши в здании стали пространством общения для студентов, архитектура стала катализатором социального пространства. 

Источник: «Феноменологический подход к архитектуре» 

Приведу пример построения губки Менгера в Blender.

Blender - свободный кросплатформенный редактор трёхмерной графики с открытым кодом. Редактор обладает широчайшими возможностями для трёхмерного моделирования, анимации, визуализации, работы с физикой, рендеринга и постпродакшна. Ранее на портале сообщества «Образовательная галактика Intel» публиковала материалы об этом профессиональном редакторе 3D-графики.

https://www.blender.org/

Открываем Blender. Удаляем камеру и источник освещения. Оставляем только куб.

image-20180930192233-3

 

Переключаемся в ортогональную проекцию.

image-20180930192233-4

 

С помощью копирования кубиков создаём создаём заготовку для первой итерации губки Менгера.

image-20180930192233-5

 

Объединяем кубы (сочетание клавиш Ctrl+J).

image-20180930192233-6

 

Переключаемся в ортодоксальную проекцию. Выделяем грани. В виде спереди, сбоку и сверху и скрываем их (клавиша H).

 

image-20180930192233-7

 

Получившуюся фигуру удаляем.

image-20180930192233-8

 

Возвращаем фигуру (сочетание клавиш Alt+H) и удаляем дубликаты. После создаем следующую фигуру, по аналогии с предыдущим шагом. 

image-20180930192233-9

 

Повторяем итерацию ещё раз. Выделяем необходимые элементы.

 

image-20180930192234-11

 

Удаляем лишние грани.

image-20180930192234-12

 

Трёхмерный фрактал губка Менгера построен.

image-20180930192234-13

 

Отмечу, что привела лишь один из возможных способов моделирования губки Менгера. Поиск других, возможно, более оптимальных способов построения, является задачей проектно-исследовательской работы. Что меня особенно порадовало и даже несколько приятно удивило, так это то, что тема вызвала интерес у учеников. Они предложили содержательные идеи для развития и доработки проекта.

Кол-во комментариев: (21)

Светлана Любавина
Борис, признательна за отзыв, который вдохновляет на продолжение темы. В ходе работы появились интересные для исследования вопросы. Если немного лирики и эмоций, то замечательно, что вновь появилась площадка для публикации и обсуждения проектов! Спасибо организаторам!
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Александр Григорьев
    Замечательная тема! Спасибо, что поделились идеей использования Blender и пошаговым руководством! Существует еще один, на мой взгляд идеальный инструмент моделирования и создания трехмерных фракталов - BeetleBlocks http://www.beetleblocks.com/ Созданный объект (в том числе фрактал) можно будет напечатать на 3D-принтере, само собой. О том, как работать с BeetleBlocks, я делал публикацию на Галактике, теперь этот материал можно посмотреть у нас в Лаборатории проектов 169: www.lab169.ru/материалы/3d-прототипирование/подготовка-моделей/
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Людмила Рождественская
    Александр, вот спасибо за напоминание о http://www.beetleblocks.com/ . Пошла смотреть и очень понравилось! А Вы знаете, что этим летом появились новые возможности работы в среде Tinkercad "Codeblocks (BETA)"? https://www.tinkercad.com/codeblocks Здесь тоже 3D объекты можно программировать блоками
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Светлана Любавина
    Александр, спасибо за конструктивные предложения! Опробую предложенную Вами среду. У меня сейчас нет в распоряжении 3D-принтера. Может быть, мы с Вами наладим дистанционное сотрудничество? Я скину Вам файл с 3D-моделью фрактала, а Вы распечатаете и поделитесь результатами?
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Александр Григорьев
    Светлана Любавина Собственно, 3D-модель у меня уже есть, губку в среде BeebleBlocks я уже воссоздал :) Проблем с 3D-печатью я вижу две. Во-первых, фракталы слишком большой вложенности - очень уж "затейливые" фигуры, и являются "твердым орешком" для слайсера (программы, рассчитывающей необходимую траекторию движения печатающей головки). Вначале мы заставляем очень "хитро" двигаться виртуального исполнителя, создающего фрактал, а затем слайсер крепко "задумывается" в попытке воспроизвести эти "хитрости". Но губка Менгера третьего порядка слайсеру вполне "по зубам". Во-вторых, проблемой является форма многих фракталов, требующая использования поддержек для печати нависающих участков. Что касается губки Менгера, теоретически ее можно было бы напечатать, поставив на один из углов, поддержек бы не потребовалось. В общем, надо пробовать!
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Светлана Любавина
    Александр Григорьев Замечательное продолжение диалога! Очень заинтересована в результатах опыта по 3D-печати фрактала. Фигура замысловатая и сложная для печати. . Буду рада, если получится её материализовать. Поделитесь, пожалуйста, какие решения для её печати Вы используете. Мне кажется, что без поддержек из-за пористой структуры в любом случае не обойтись.
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Александр Григорьев
    Светлана Любавина Заняться печатью на этой неделе, боюсь, не получится, Робофинист на носу :) Но на следующей попробую. Кстати, думаю, ребятам было бы интересно, если бы была использована именно их модель, построенная в Blender. За свою модель я уверен. BeetleBlocks вещь понятная и надежная за счет своей простоты, можно сказать даже примитивности. А вот операции с отдельными гранями, как показывает опыт, чреваты возможными осложнениями. Как вам понравится икосаэдр, у которого одна грань отсутствует, предположим? :) С точки зрения техники печати. Нависание с большим углом отклонения от вертикали (90 или близко к тому) - проблема. Нависание в 45 градусов - не проблема. Поэтому мне представляется самым лучшим вариантом печать губки, поставленной на угол. Потребуются лишь поддержки по трем нижним граням, чтобы губка при печати не свалилась набок, да и не удержится она на одной точке, естественно. Эти внешние поддержки легко будет удалить. Либо печатать две половинки и потом склеивать.
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Светлана Любавина
    Александр Григорьев Отлично! От всей души благодарю Вас за отзывчивость и готовность к сотрудничеству! Участники проекта получили дополнительный импульс для работы над темой и даже предложили канал связи для передачи напечатанной модели из Петербурга в Калужскую область. На следующей неделе пришлю Вам файлы губки для 2-х, 3-х и 4-х итераций. Наверно, пока не стоит переводить модели в G-код? Оставить файлы в STL формате? Вероятно, Вам будет удобнее обработать модели на своём слайсере в наиболее оптимальном режиме.
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Александр Григорьев
    Светлана Любавина Спасибо за теплые слова! :) За успешную печать модели максимальной итерации не ручаюсь, но сделаем, что можно! Конечно, STL, ведь для того, чтобы сгенерировать правильный G-код, Вы должны знать, что у нас за принтер :)
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Александр Григорьев
    Светлана Любавина Наконец-то дошли руки, чтобы подготовить модель для печати и попробовать. Первый образец получился не идеальным, но в целом печать прошла успешно :) Что хочется отметить. 1. Печатать губку, стоящую на вершине получается, при этом поворот модели в нужное положение - отдельная интересная задача. Придется постараться, чтобы ось, проходящая через противоположные вершины (нижнюю и верхнюю), оказалась строго вертикальной. 2. Программа-слайсер (Cura) генерирует поддержки таким образом, что их будет потом сложно удалять. Приходится создавать модель, уже включающую поддержки, достаточно поддержек по трем нижним граням. 3. Печать проходит долго, для получения качественного изделия размер губки должен быть достаточно большим. Для возможности постобработки желательно, чтобы в самые маленькие отверстия входил трехгранный надфиль. Губка размером 3х3 см печаталась около 5 часов (хоть я, конечно, использовал не самые скоростные и не самые подходящие для данного случая параметры печати).
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Людмила Рождественская
    Шикарная губка, и идея, и ее воплощение. Особенно понравилось про "выковыривание" пространства куба-здания с целью высвободить пространство для общения людей. Что-то в этом есть из новой социальности...
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Людмила Рождественская
    Светлана, еще чисто технический вопрос. Возможно, вы имели в виду: Переключаемся в ортогональную проекцию? Или, может быть, я плохо понимаю значение слова ортодоксальный? :)
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Светлана Любавина
    Людмила, спасибо большое за замечание и внимательное прочтение! С ортодоксальной проекцией получилось как-то странно и не к месту многозначительно :). Исправила. Кстати, любопытный факт, связанный с ортогональной проекцией грани губки Менгера . Она представляет собой ковёр Серпинского.
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Светлана Любавина
    Призадумалась над внезапно возникшим на портале "Новатор" упоминание ортодоксальности. Видимо, подсознание сработало:). Появилось следующее толкование. Если делаешь что-то объёмное и оригинальное, то будь готов к тому, что твоя деятельность отобразится и в ортодоксальной плоскости.
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Светлана Любавина
    Появился технические вопрос к администраторам портала. Скажите, пожалуйста, какие ограничения существуют на количество изображений в посте? Или есть ограничения на вес картинок. Я добавила 13 картинок и одно видео. 14-ая картинка своевольно выскакивает из поста и не отображается.
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Дмитрий Смирнов
    Ограничений на кол-во картинок нет, на вес - есть. Попробуйте уменьшить размер картинки. Проверьте также название файла - может, там есть служебный символ?
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии