Публикации сообщества

Людмила Рождественская • 2 июня 2019

Уроки развития 3D-мышления: зачем считать кубики?

Продолжая тему развития 3D-мышления, предложу несколько видов заданий. Особенность их в том, что они предполагают последовательное выполнение шагов  и постепенное вовлечение ученика в задания все более усложняющихся уровней.

Предполагается, что при выполнении таких заданий ученик на каждом шаге обучается  самостоятельно, однако, если активность разворачивается в классе, на уроке, у учителя есть возможность организовать коллективное обсуждение каждого шага и ознакомить класс с разными стратегиями решений, выбираемыми разными учениками. Как это можно сделать, см. Классные активности в TeacherDesmos: инструкция для новичка

Разберем несколько типов заданий из авторской активности:  Посчитай кубики!. В обсуждении при создании активности участвовали коллеги из сообщества Signum Анна Котельникова и Ирина Афонина.

Активность предназначена для учеников начальной и основной школы. Возможно, она также будет интересная и более старшим ученикам (нужно проверять).

Зачем вообще “считать” кубики?

Слово “считать” здесь приведено, скорее, как привычная формулировка для подобных заданий, однако, речь пойдет не о прямом пересчитывании.

Пересчитывание вряд ли возможно для объекта, часть элементов (кубиков) которого скрыта от прямого наблюдения.

И даже наличие 3 модели вряд ли помогает пересчету, при вращении объекта ученику еще надо удержать, какие элементы уже посчитаны.

Скорее, здесь подразумевается мысленное достраивание объекта до целого, представление о кубе (параллелепипеде) как о целом, построенном с помощью единичных элементов.

Используемые понятия: 3 измерения (длина, ширина, высота), а также: ряд, столбец, слой, основание.

 

Считаем “кубами”, “рядами”, “столбиками”, значит, считаем “двойками”, “тройками” и т д...

Когда первое испытание  преодолено (или у ученика уже есть сформированное представление о кубе с размерами 2*2*2 = 8 кубиков), в новом задании- картинке можно попытаться нарушить целостность куба, "вынимая" из него отдельные элементы и размещая их по новому, вне этого целого.

Кроме того, в  подобных задачах есть возможность развития важного умения подсчета сумм разными “наборами”: “двойками”, “тройками” и т.д.

Таких приемов счета, как показывает практика, иногда не хватает не только ученикам начальной школы, но и более старшим школьникам.

 


Мысленно складываем из кубиков целый куб/параллелепипед, подсчитываем “лишние” кубики, суммируем...

Ниже примеры заданий, в которых ученику как бы  предлагается считать уже не отдельные единичные кубики, а “ряды” или “столбики”.

Опять речь идет о "подсчете" объектов, все из которых он визуально не наблюдает. Важно, что может быть использовано не только суммирование элементов, но и их "вычитание" из уже представляемого “целого”.

Здесь может быть обсуждена стратегия мысленного “складывания” целых кубов с уже известным числом элементов, к которому нужно добавить лишь те кубики или целые “столбики из кубиков”, которые остались “лишними”.

 

Например, здесь (картинка ниже) логично мысленно переместить третий верхний ряд из трех кубиков во второй слов. Тогда подсчет идет от целого параллелепипеда с размерами 3*3*2.

 

Для закрепления таких способов подсчета, опять хорошо прибегнуть к целому, уже “посчитанному” объекту, у которого отсутствуют какие-то элементы. Как например, в следующем задании.

Выглядит как “подсчет”, но на самом деле, развивает 3D-мышление и не только...

Следующие несколько заданий, поданные вне контекста, как есть,  уж точно бы выглядели бы как задания на прямой пересчет кубиков, поскольку в них фигурируют конкретные числа: 18 кубиков, 21 кубик, 23 кубика. Но, есть надежда, что в активности на одну тему, выстроенной с определенными дидактическими задачами, ученики будут ее "читать" и пытаться выполнить по-другому. Применяя другие приемы...

О чем, на самом деле, эти задания?

Эти задания и на разложение чисел на множители, то самое умение выделить группы элементов “по три” кубика (столбцами или рядами). Кроме того, здесь вновь используется мысленное “достраивание” до уже “известного целого”, где таким “целым” могут быть разные объекты.

В примере ниже:

параллелепипед 3*3*2 = 18

или фигура составленная из параллелепипеда  3*3*2 + ряд из трех кубиков = 21 кубик

 

Задание на 23 кубика предполагает визуальную операцию, аналогичную арифметической:  23 = 18 + 3 + 2

Задачи на достраивание до целого - заполнение пустот

Переход к кубу  3*3*3 = 27 осуществляется за счет операции “достраивания до целого”.

Почему эти задачи более сложны для учеников?

Здесь им предлагается “пересчитать” то, чего не просто “не видно”, а нет вообще. То есть, нужно мысленно заполнять пустоты. Кстати, очень важное умение в математике!

Очевидно, что делать они это могут разными способами, но им уже не обойтись без знания размеров и числа составляющих “полного куба”.

Хотя конечно, найдутся ученики, которые и просто представят в своем воображении недостающие ряды, столбики, отдельные кубики.

 

Строим куб

Наконец, следующий блок задач - на мысленное строительство кубов. В основе - тот же прием, который был отработан в предыдущем блоке. Но в сама формулировка вместе с вариантами ответов  носит как бы более практический характер:

Можно ли из данных кубиков построить куб с размерами 3X3X3 ?

Ответы:

  • кубиков  больше, чем нужно
  • да, кубиков ровно столько, сколько нужно
  • кубиков не хватит


 

Решение этой серии вновь основано на приемах “мысленного перемещения и укладывания” элементов в "пустоты".

 

 

Строим два куба из набора кубиков

Последние задания активности предполагают опору на опыт и знания, полученные учениками при выполнении предыдущих.

Почему это другая и более сложная задача по сравнению с предыдущими?

Здесь используются знания и представления

  • О кубах с размерами 2*2*2  и 3*3*3
  • Умение “достроить” фигуру до целого.
  • Способность посчитать, исходя из размеров предложенных фигур, количество составляющих их элементов.
  • Умении разбить полученное число на множители, чтобы определить  число полных кубов, которые можно построить из кубиков.
  • *В задаче, где нужно построить два разных куба - разложить это число на сумму двух 27 + 8 = 35.

Как создать картинки для такой активности

Все рисунки для активности созданы в генераторе 3D объектов https://technology.cpm.org/general/3dblocks/,
Инструкция здесь: 3D генератор на основе кубов: как с ним работать и создавать материал для развивающих заданий
Есть ли мысли, какие еще задачи и на развитие каких умений и способов, можно придумать на подобном материале? С акцентом на представлениях, понятиях, умениях, способах... А не просто задачах ради самих задач.

Статьи по теме онлайн-инструменты 3D на уроках информатики и математики

Кол-во комментариев: (6)

Инга Тихоновецкая
Очень понравилось. Подобные задачи часто встречаются в олимпиадных заданиях,например "Кенгуру" и т. д. Сталкиваюсь с тем, что у ребят вызывают они трудности. Обязательно изучу и апробирую. Некоторые из моих #чудо_деток, думаю и летом с удовольствием в Desmos поработают.
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Инга Тихоновецкая
    Людмила Викторовна, проанализировала доступную статистику по успешности выполнения аналогичных заданий. Картина не из приятных. Только 26 % учащихся в "Кенгуру" дали правильный ответ. В олимпиаде Яндекс. Учебника картина ещё хуже -21% справились. https://docs.google.com/document/d/1J-zikem9uGalzag4vhfsIo7WjmMdhleWyao…
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Людмила Рождественская
    Дорогая Инга, спасибо за статистику. Посмотрела, что задачи очень интересные, правда, жаль, что ребята с ними не справляются так, как хотелось бы! Но нужно понимать, что эти задачи - особенные, и просто так, не владея особыми приемами мышления, с ними не справиться. Особенно, если времени на решение отводится мало. Меня всегда удивляет этот факт: мы ждем от учеников наличных умений там, которые, как сформировались, за счет чего? Собственно, пример активности, в которой определенный тип задач раскладывается на мелкие шаги, которые ученик проходит самостоятельно, овладевая некоторыми из приемов.
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Людмила Рождественская
    Инга, по мотивам 3-й задачи начала создавать тренировочные упражнения. https://teacher.desmos.com/activitybuilder/custom/5cf558167509e505441ec… Как считаете, такая активность, с подобными заданиями может помочь ученикам развить их 3D -мышление?
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Людмила Рождественская
    Неожиданная находка, уже после того, как пост был написан. http://www.stevewyborney.com/?p=1253 Это сайт нашего американского коллеги, на котором собрано много упакованных в презентации материалов на темы, связанные с 3D -объектами. Здесь размешено 80 анимированных уроков! Да, подходы немного другие, чем те, к которым мы привыкли, но, может быть, нам стоит знакомиться с другим опытом? Речь идет о заданиях, как правило, используемых "для разогрева" в начале урока. Формально - на умение считать количество кубиков в фигуре разными "наборами" (назовем это так). Но при мысленном выделении "наборов" включаются соображения симметрии, геометрические образы и т.д. Безусловно, это тренировка визуального мышления, умения выделять структуры, формы, группы... Может быть, на эту тему соберется и отдельный пост...
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии