Публикации сообщества

Людмила Рождественская • 5 августа 2020

Учить по-другому - как это? Ищем баланс между "бумагой" и "цифрой"...

Почти год назад на Новаторе был опубликован пост Весы и уравнения  о чудесном сервисе, на котором можно решать линейные уравнения и даже их системы в игровом формате. Ученик поначалу, пока не выработал стратегии, тренируясь на простых образцах, даже не будет связывать свои действия с какой-либо математической темой из школьного курса, с переменными, равносильными преобразованиями и понятием тождества. Ему не придется приводить уравнение к каноническому виду... Все, что от него требуется здесь - уравновесить "вешалку". И чему здесь можно научиться? Скажете - бесполезная трата времени?

А вот и нет.

Для тех из наших учеников, у кого резкий переход к абстрактным правилам и преобразованиям обычно сопровождается устойчивой неуспешностью по математике, такая игра может оказаться продуктивным вызовом, предложением испытать себя. Причем, ничем особенно не рискуя... По крайней мере, нет риска получить плохую отметку. Зато есть шанс догадаться до каких-то ходов самому!

В чем идея?

Идея заключается в уравновешивании вешалки-мобиле с развешанными на ней разноцветными фигурами, под каждой из которых "спрятаны" числа. Под фигурами одного цвета одинаковой формы - одни и те же числа. Вот каков простой принцип этой игры. Но, если понимать суть, наши "фигуры" - это переменные. И на каждой вешалке их может быть размещено больше одной. В переводе на математический язык - это аналог линейного уравнения с одной или несколькими переменными. Да,  здесь, как  и в "стандартном объяснении" темы ученику приходится подставлять числовые значения в цветные фигуры-значки. Но здесь он делает это на более понятном ему, интуитивном уровне. Сначала подбором, а потом уже и к составлению уравнений переходя...

Если стало интересно, загляните по ссылке  https://solveme.edc.org/Mobiles.html

И, оказывается, этот игровой подход может быть тропинкой к более формализованной математике.

Основанные на принципе "вешалки" появилась первая активности в TeacherDesmos: Уравновесим вешалку. Простые линейные уравнения 

(Перевод SmolGU team, студенты Смоленского Государственного университета под руководством преподавателя Анны Самариной).

А интерактивные возможности, заложенные в активности, позволят ученику или самому проверить правильность своих гипотез, или обсудить их с одноклассниками.

Посмотрим на примеры заданий:

 

image-20200803200911-3

image-20200803200836-2

image-20200803203123-1

Мы видим здесь движение от схемы - "вешалки" к линейному уравнению с одной переменной, и обратное - от уравнения - к схеме.

Почему бы не использовать столь наглядную схематизацию?

В этих упражнениях продолжается работа по использованию сбалансированной вещалки для разработки стратегий решения уравнений. Ученикам предлагаются сбалансированные вешалки, и их просят написать уравнения, представляющие их. Затем требуется объяснить, как использовать диаграммы, а затем, как составить уравнения, и как найти его решение. Ученики начинают видеть структуру уравнений и диаграмм, находят соответствия между ними, лучше начинают понимать стратегии решения.

Попробуем записать результаты обучения в автивностях с "вешалками" в стандартных формулировках:

Ученик

  • может объяснить, что общего у сбалансированной вешалки и соответствующего уравнения.
  • может написать уравнения, которые могли бы представить массы объектов на сбалансированной вешалке
  • может сравнить выполнение одного и того же действия с грузами на каждой стороне сбалансированной вешалки с решением уравнений. Все это - путем вычитания одинаковой суммы с каждой стороны вешалки или упрощения, например, деления на одно и то же число.

Для формализованной записи спользован ресурс

Что обычно изучают в теме "Системы линейных уравнений"?

Давайте вспомним, чему мы обычно учим учеников, проходя темы "Линейные уравнения" и "Системы линейных уравнений" на уроках математики? 

  • Вводить переменные (в задачах, которые сводятся к решению линейных уравнений или их систем)
  • Выражать одну переменную через другую
  • Методу подстановки при решении систем
  • Методу сложения при решении систем
  • Графической интерпретации решения системы двух линейных уравнений

Как правило, мы имеем этот стандартный набор. Но не всех учеников, к сожалению, получается научить. 

Возможно, не хватает наглядности?

Три примера типовых задач, которые обычно (на бумаге) решают по-другому

Задача 1

7 шоколадок дороже чем 8 пачек печенья. Что дороже – 8 шоколадок или 9 пачек печенья?

Визуальное решение

image-20200804212557-1

Задача 2

У школьника имеется 200 рублей, чтобы пообедать в школе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе можно накупить на 200 рублей?

Визуальное решение

image-20200804212847-2

Задача 3

«Школьник купил на 200 рублей несколько пирожных и несколько чашек кофе. Пирожное стоит 25 рублей, а чашка кофе 10 рублей. Сколько пирожных и чашек кофе купил школьник, если известно что количество пирожных на одну единицу больше количества чашек кофе?»

Визуальное решение

image-20200804213102-3

Все три задачи на бумаге решались бы стандартными способами сводящимися к составлению уравнений, неравенств или их систем, а также подходящим методам их решения.

В Desmos эти решения визуальны, калькулятор как бы решает задачу "за ученика"...

Но тогда получается, что нужно учить учеников  при переводе задачи на язык математики записывать ее так, чтобы калькулятор смог нас "понять" . И чтобы те данные, та информация, которые калькулятор нам "вернет", также были очевидными и наглядными.  

И как это решение, которое выдаст калькулятор, разглядеть, понять, интерпретировать?

Умеем ли мы это? И делаем ли?

Цифровые инструменты организации мышления

А теперь пример такой активности, в которой учебная деятельность по теме развернута совершенно по-другому. Она не про стандартные приемы, она - про выдвижение гипотез, выбор способов, их обсуждение....

Разберись с балансом (Перевод Натальи Юткиной)

image-20200803200815-1

Еще и есть возможность увидеть, как размышляют ученики твоего класса:

 

Используйте наложение в представлении учителя на приборной панели, чтобы показать распределение ответов. Если позволяет время, подумайте над тем, чтобы задать ученикам следующие вопросы, чтобы помочь им подготовиться к предстоящим заданиям....

Игра, развлечение или серьезная работа?

Как самому создать активность с "вешалками"?

Можно разработать свою собственную активность для отработки навыков решения уравнения при произвольно задаваемых значениях одной из переменных X или Y. Причем проверка правильности решения задания учеником будет осуществляться автоматически.

image-20200803221703-1

Как из заготовки создать свои слайды?

Чтобы поменять число, порядок и вес каждой фигуры:

  • Скопируйте этот слайд в свою активность, используя значок, расположенный рядом с «Предварительным просмотром экрана ученика» в верхнем левом углу слайда.
  • Нажмите "Редактировать график".
  • Перейдите в папку «Установка» и задайте порядок и количество фигур на каждой стороне подвеса.
  • Задайте вес каждой фигуры так, чтобы подвес был сбалансирован.
  • Убедитесь, что вы создали разрешимую задачу, используя предварительный просмотр с точки зрения ученика.
  • Обновите уравнение, которое должно представлять собой ваш вариант сбалансированного подвеса.

Пример двух кастомизированных слайдов, созданных на основе шаблона по этой инструкции

image-20200803233413-1

image-20200803233607-2

Почему важно менять наше преподавание, если в руках ученика есть такой мощный инструмент, как графический онлайн-калькулятор?

В этом своем посте я пыталась найти ответы на вопрос: как можно по-другому изучать темы линейных уравнений с одной и несколькими переменными, а также темы систем линейных уравнений с двумя переменными? Все это, конечно,  с использованием среды Desmos.
А еще заострила бы и, одновременно, обобщила проблему. Нужно ли вообще при изучении темы систем линейных уравнений столько часов на чисто "вычислительные навыки" (все эти "бумажные" методы решения систем), если у учеников страдает представление о моделировании, и, тем более, интерпретации, над которыми мы не работаем как надо. Учитывая, что графический калькулятор Desmos решает графически любую линейную систему в одно мгновение, то есть, от механической рутинной работы нас освобождает.

Остается время на что?

Оставим этот вопрос на обсуждение в сообществе... Ваши версии, коллеги?

Ссылки на публикации по теме

Оцените материал:
Поделитесь ссылкой:     

Кол-во комментариев: (3)

Екатерина Алексеева
Как раз вчера занималась тем, чтобы подобрать интересные пособия к программе по математике 6 класса. Нашла засилье решебников, подсказок, опорных схем - т.е. "упрощалок" для ученика. Особенно на этом фоне понимаешь, насколько уникальный материал предлагается в циклах Ваших статей, Людмила! Пока есть еще время перед школой, пойду-ка поищу 3 старые вешалки, чтобы поговорить с детьми о математике), ведь время, оставляемое нам калькуляторами и проч. умными устройствами/ПО - мне кажется, стоит тратить на общение. Причем, не обязательно говорить самому - сейчас многим нужно быть просто выслушанными... (эх, все смешала))
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Людмила Рождественская
    Катя, спасибо за ответ на мой вопрос в конце поста. Я-то, конечно, адресовала его учителям математики, для которых использование такого современного калькулятора на уроке высвобождает время и на дискуссию, на творчество, и на то, чтобы выслушать версии не одного, как правило, отличника (как бывает обычно), а и других ребят в классе. Но и это еще не все....
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии
  • Людмила Рождественская
    Из обсуждения в сообществе Signum. Предложение в комментариях от Алексея Сгибнева: "Идея: к задачам 2 и 3 было бы естественно добавить такую: "А сколько пирожных и кофе вообще можно купить на 200 руб, если необязательно тратить все деньги?" И понять, что подходят все целочисленные точки в треугольнике между осями координат и наклонной прямой"
  • Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы оставлять комментарии